Sinusni teorem. Rješavanje trokuta

Proučavanje trokuta nenamjerno postavlja pitanje izračuna odnosa između njihovih strana i kutova. U geometriji kosinusni teorem

Prve informacije o tom teoremu pronađene su u obliku njegovog dokaza u okviru matematičkog djela Nasira ad-Din Al-Tusi iz trinaestog stoljeća.

Približava bliže odnosa između strana i kutova u svakom trokutu, to je napomenuti da je sine teorem omogućuje nam da riješiti mnoge matematičke probleme, te geometrija zakona nalazi primjenu u različitim praktične ljudske djelatnosti.

Sine teorem sama navodi da za bilo koji trokut, strane su proporcionalne sines od suprotnih kutova. Tu je i drugi dio ovog teorema, prema kojem je omjer bilo koje strane trokuta do sine suprotnog kuta promjer kruga, opisano u blizini trokuta koji se razmatra.

U formi formule, ovaj izraz izgleda

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Ima teorem sine proof, koji se u raznim verzijama udžbenika nudi u bogatoj varijanti verzija.

Na primjer, razmislite o jednom od dokaza koji objašnjavaju prvi dio teorema. U tu svrhu postavimo cilj dokazivanja valjanosti izraza sinc=cSina.

U proizvoljnom trokutu ABC konstruiramo visinu BH. U jednoj od varijanti konstrukcije, H će ležati na segmentu AC, au drugom izvan njega, ovisno o kutovima na vrhovima trokuta. U prvom slučaju visina se može izraziti u kutovima i stranama trokuta, budući da je BH = sinC i BH = c sinA, što je traženi dokaz.

U slučaju da je točka H izvan granica segmenta AC, možemo dobiti sljedeća rješenja:

BH = sinC i BH = c sin (180-A) = c sinA;

ili BH = grijeh (180-C) = sinC i BH = c sinA.

Kao što vidimo, bez obzira na mogućnosti gradnje, došli smo do željenog rezultata.

Dokaz drugog dijela teorema zahtijeva da opisamo krug oko trokuta. Kroz jednu visinu trokuta, na primjer B, konstruiramo promjer kruga. Dobiti točku na krugu D s jednom od visine trokuta, neka bude točka A trokuta.

Ako uzmemo u obzir rezultirajuće trokuta ABD i ABC, tada možemo primijetiti jednakost uglova C i D (oni se temelje na jednom luku). S obzirom da je kut A 90 stupnjeva, onda je grijeh D = c / 2R, ili grijeh C = c / 2R, što je trebalo dokazati.

Sinusni teorem je polazna točka za rješavanje širokog raspona različitih problema. Poseban atrakcija je njegova praktična primjena, kao nužna posljedica teorema možemo povezati vrijednost trokuta, suprotne kutove i radijus (promjer) od kruga opisanog oko trokuta. Jednostavnost i dostupnost formule koja opisuje ovaj matematički izraz, dopušteno široko koristiti ovaj teorem riješiti probleme pomoću raznih mehaničkih uređaja prebrojiv (logaritamski vladari, stolovi, itd.), ali čak i dolazak snažnih računalnih uređaja u službu neke osobe nije smanjio relevantnost ovog teorema.

Ovaj teorem nije uključen samo u obvezni kolegij geometrije srednje škole, već se dodatno primjenjuje u određenim granama praktične aktivnosti.