Trokut Pascala. Svojstva Pascalovog trokuta

Napredak čovječanstva je u velikoj mjeri povezan s otkrićima genija. Jedan od njih je Blaise Pascal. Njegova kreativna biografija još jednom potvrđuje pravi izraz "Talentiranog čovjeka, talentirani u svemu" Lyona Feuchtwangera. Sva znanstvena postignuća ovog velikog znanstvenika teško je ponovno pročitati. Među njima je jedan od najelegantnijih izuma u svijetu matematike - Pascalov trokut.

Nekoliko riječi o geniju

Blaise Pascal umro je rano u modernim standardima, u dobi od 39 godina. Međutim, u kratkom životu pokazao se kao izvanredan fizičar, matematičar, filozof i pisac. Zahvalni potomci zovu u njegovu čast jedinicu pritiska i popularni programski jezik Pascal. Upotrebljava se gotovo 60 godina za podučavanje pisanja različitih kodova. Na primjer, pomoću nje svaki student može napisati program za izračunavanje površine trokuta u „Pascal”, te istražiti svojstva sustava, a koja će biti više riječi u nastavku.

Aktivnost ovog znanstvenika s izvanrednim razmišljanjem pokriva širok spektar znanstvenih područja. Osobito je Blaise Pascal jedan od utemeljitelja hidrostatike matematičke analize, neki smjer geometrije i teorije vjerojatnosti. Osim toga, on:

• stvorio mehanički kalkulator, poznat kao Pascal kotač;
• prikazani su eksperimentalni dokazi da zrak ima elastičnost i težinu;
• otkrili su da se barometar može koristiti za predviđanje vremena;
• izumio je kolica;
• došli su do omnibusa - konjskih vagona s fiksnim rutama, koji su kasnije postali prva vrsta redovitog javnog prijevoza, itd.

Pascalov aritmetički trokut

Kao što je već spomenuto, ovaj veliki francuski znanstvenik je veliki doprinos matematičkoj znanosti. Jedno od njegovih bezuvjetnih znanstvenih remek-djela jest Obrazac o Aritmetičkom trokutu koji se sastoji od binomnih koeficijenata raspoređenih u određenom poretku. Svojstva ove sheme zadivljuju svojom raznolikošću, a ona i sama potvrđuje izreku "Sve genijalno je jednostavno!".

Malo povijesti

U pravičnosti, valja reći da je zapravo Pascalov trokut bio poznat u Europi već početkom 16. stoljeća. Posebno, njegova slika može se vidjeti na naslovnici udžbenika aritmetike poznatog astronoma Peteru Apianu sa Sveučilišta u Ingolstadtu. Sličan je trokut prikazan i kao ilustracija u knjizi kineske matematičara Yang Hui, objavljenog 1303. godine. Njegova su svojstva poznata i izvanrednom perzijskom pjesniku i filozofu Omaru Khayyamu već početkom 12. stoljeća. Vjeruje se da ga je upoznao iz rasprava arapskih i indijskih znanstvenika, ranije pisanih.

opis

Prije nego što istražite najzanimljivija svojstva Pascalovog trokuta, lijepa u svojoj savršenosti i jednostavnosti, vrijedi saznati što je to.

Znanstveno govoreći, ova numerička shema je beskonačna tablica trokutastog oblika, formirana od binomnih koeficijenata raspoređenih u određenom redoslijedu. Na vrhu i na stranama su brojevi 1. Preostali položaji zauzimaju brojevi jednaki zbroju dvaju brojeva iznad njih. U ovom slučaju, sve linije Pascalovog trokuta su simetrične s obzirom na vertikalnu os.

Osnovni svojstva

Trokut Pascala impresionira svojim savršenstvom. Za svaki red označen n (n = 0, 1, 2hellip-) je istinit:

• prvi i zadnji brojevi su 1;
• drugi i pretposljednji - n;
• treći je broj jednak trokutastom broju (broj krugova koji se mogu urediti u obliku jednakostranični trokut, tj. 1, 3, 6, 10): T_n-1 = n (n-1) / 2.
• četvrti broj je tetraedarski, to jest piramida s trokutom na svojoj bazi.

Štoviše, relativno nedavno, 1972. godine, uspostavljeno je još jedno svojstvo Pascalovog trokuta. Da biste je otkrili, morate napisati elemente ove sheme u obliku tablice s linijskim pomakom od 2 položaja. Zatim se brojevi dijele brojem linije. Ispada da je broj stupca u kojem su odabrani svi brojevi premijera.

Isti se trik može učiniti na drugačiji način. Za to se u trokutu Pascal brojevi zamjenjuju preostalim dijeljenjem brojem redaka u tablici. Zatim su redovi u dobivenom trokutu postavljeni tako da sljedeći počinje desno od 2 stupca iz prvog elementa prethodnog. Tada stupci koji imaju brojeve koji su premijski brojevi sastojat će se samo od nula, a oni s kompozitnim brojevima imat će barem jednu nulu.

Povezivanje s binomom Newton

Kao što je dobro poznato, tzv. Formula za širenje pojmova ne-negativne cijele snage zbroja dviju varijabli nazivamo oblik:

Koeficijenti prisutni u njima jednaki su C_n^m = n! / (m! (n - m)!), gdje je m, redni broj broja u nizu n Pascalovog trokuta. Drugim riječima, imajući ovu tablicu pri ruci, može se lako podići na vlast bilo koji broj, nakon što se prethodno raspada u dva termina.

Dakle, Pascalov trokut i Newtonov binomi su međusobno povezani na najintimniji način.

Matematička čuda

Ako pažljivo proučavate Pascalov trokut, možete pronaći sljedeće:

• zbroj svih brojeva u nizu s serijskim brojem n (brojanje je od 0) jednako je 2ⁿ;
• ako je linija lijevo poravnat, zbir brojeva, koji se nalaze duž dijagonala Pascal je trokut, ide od dna prema vrhu i s lijeva na desno, su Fibonacci brojevi;
• Prva "dijagonalna" sastoji se od prirodnih brojeva koji idu u red;
• bilo koji element Pascal je trokut umanjenog za jedan, je zbroj svih brojeva raspoređenih u paralelograma, koji je omeđen s lijeve i desne dijagonale sijeku na ovaj broj;
• u svakoj liniji sheme zbroj brojeva na jednakim mjestima jednak je zbroju elemenata na neparnim mjestima.

Sierpinskijev trokut

Takva zanimljiva matematička shema, vrlo obećavajuće u smislu rješavanja složenih problema, ispada, ako se boje čak i brojevi Paskaleva slika u jednoj boji, i čudno - u drugoj.

Sierpinski trokut također može biti izgrađen na drugi način:

• u obojenoj shemi Pascala, srednji trokut se obnavlja u drugoj boji koja se formira pridruživanjem midpoint-a stranica izvornika;
• Slično tome, dolaze s tri neobojena koja se nalaze u uglovima;
• ako se postupak neprekidno odvija, onda na kraju treba završiti s dvije boje.

Najzanimljivija vrijednost Sierpinskog trokuta je njezina samosličnost, budući da se sastoji od 3 kopije same sebe, koje se smanjuju za dva faktora. To se može pripisati ovoj shemi na fraktalne krivulje, ali oni su, kao što je prikazano od strane nedavne studije su najprikladniji za matematičko modeliranje oblaci, bilje delte rijeka i svemir sam po sebi.

Nekoliko zanimljivih zadataka

Gdje se koristi Pascalov trokut? Primjeri problema koji se mogu riješiti uz pomoć su prilično različiti i odnose se na različita područja znanosti. Razmislite o nekim od najzanimljivijih od njih.

Problem 1. Određeni veliki grad okružen zidinama utvrde ima samo jedno ulazno vrata. Na prvom kružnom putu glavna cesta je podijeljena na dva. Isto se događa i na bilo kojem drugom. 210 ljudi ulazi u grad. Na svakom od sjecišta podijeljeni su na pola. Koliko će ljudi biti na svakom raskrižju, kada će biti nemoguće podijeliti. Njegov odgovor je deseta linija Pascalovog trokuta (gore navedena formula koeficijenata), gdje se brojevi 210 nalaze na obje strane vertikalne osi.

Zadatak 2. Postoji 7 boja. Moramo napraviti buket od 3 cvijeta. Potrebno je saznati koliko različitih načina to može biti učinjeno. Ovaj problem je iz područja kombinatorika. Da bismo je riješili, ponovno koristimo Pascalov trokut i dobijemo broj 35 na 7. redak u trećem položaju (brojčano u oba slučaja sa 0).

Sada znate što je izumio veliki francuski filozof i znanstvenik Blaise Pascal. Njegov poznati trokut, kada se pravilno koristi, može postati pravi alat za rješavanje mnogih problema, posebno iz područja combinatorika. Osim toga, može se koristiti za rješavanje brojnih zagonetki povezanih s fraktalima.