Geometrijska progresija i njegova svojstva

Geometrijska naprednost je važna u matematici kao znanosti iu primijenjenom značenju, budući da ima izuzetno širok opseg čak iu visoka matematika,

Dakle, geometrijska progresija ima drevnu povijest. Predstavlja brojčani niz s nule prvog dijela, a svaki slijedeći, počevši od drugog je određen množenjem prethodne ponavljanje formulu pri konstantnoj, nule broj koji zove nazivnik napredovanje (obično označeni primjenom slova q).
Očito se može pronaći dijeljenjem svakog sljedećeg člana slijeda od prethodnog, tj. Z 2: z 1 = ... = z n: z n-1 = .... Stoga, za određivanje napredovanja (z n), dovoljno je da je poznata vrijednost prvog termina y1 i nazivnika q.

Na primjer, pretpostavimo da su z 1 = 7, q = -4 (q < 0), dobivena je sljedeća geometrijska progresija: 7, - 28, 112, - 448, .... Kao što vidimo, dobivena sekvenca nije jednolična.

Sjetite se da je proizvoljna sekvenca monotonična (povećanje / smanjenje), kada je svaki od njegovih uzastopnih pojmova veći / manji od prethodnog. Na primjer, sekvence 2, 5, 9, ... i -10, -100, -1000, ... su jednolične, a druga od njih je smanjenje geometrijske napredovanja.

U slučaju kad je q = 1, u progresiji svi termini su jednaki i naziva se konstantna.

Slijed je progresija ove vrste, mora zadovoljiti sljedeći nužan i dovoljan uvjet, a to su: počevši od drugog, svaki od njegovih članova mora biti geometrijska sredina susjednih članova.

Ova imovina nam omogućuje pronalaženje proizvoljnog pojma progresije za dva poznata obližnja.

N-th pojam geometrijske progresije se lako može pronaći iz formule: z n = z 1 * q ^ (n-1), poznavajući prvi izraz z 1 i nazivnik q.

Budući da numerički slijed ima zbroj, nekoliko jednostavnih izračuna dati će nam formulu koja nam omogućuje izračun zbroja prvih pojmova napredovanja, i to:

S n = - (z n * q - z 1) / (1 - q).

Zamjena vrijednosti formule njegova ekspresija z n z 1 * q ^ (n-1), da bi se dobio drugi zbirni formulu progresije: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Dostojan pozornosti je sljedeća zanimljiva činjenica: ploča od gline pronađena tijekom iskapanja Drevni Babilon, koji datira iz VI. BC, izvanredno sadrži zbroj 1 + 2 + 22 + ... + 29, jednako 2 u desetom stupnju minus 1. Rješenje ove pojave još nije pronađeno.

Zabilježimo još jednu osobinu geometrijske progresije - konstantan proizvod njegovih pojmova, razmještenih na jednaku udaljenost od krajeva slijeda.

Od posebne je važnosti sa znanstvenog stajališta pojam beskrajne geometrijske napredovanja i izračunavanje njezine sume. Pretpostavljajući da je (y n) geometrijska progresija koja ima nazivnik q zadovoljavaju uvjet | q |< 1, to će biti upućeni na zbroj granice prema kojem smo već znali zbroj prvih članova, uz neograničene povećanjem n, kako se približava beskonačnosti.

Pronađite taj iznos na kraju pomoću sljedeće formule:

S n = y1 / (l-q).

I, kako je pokazala praksa, iza očite jednostavnosti ove progresije skriva se ogroman primijenjeni potencijal. Na primjer, ako konstruiramo niz kvadrata pomoću sljedećeg algoritma, povezujući midpoints na stranama prethodnog, onda njihova područja čine beskonačnu geometrijsku progresiju s nazivnikom 1/2. Isti progres je formiran od strane područje trokuta, koje se dobivaju u svakoj fazi izgradnje, a njezina je suma jednaka površini prvobitnog kvadrata.