Peti postulat Euklida: formulacija

Vjeruje se da su se prve ljudske civilizacije pojavile prije 10.000 godina. U usporedbi s dobi od naše planete, koji je, prema znanstvenicima, je oko 4,54 milijuna godina stara, to je samo kratki trenutak. Za ovu „trenutak” čovječanstvo je napravio veliki skok od primitivnih kamenih alata za međuplanetarne letjelice. Bilo bi nemoguće da se s vremena na vrijeme na genijima planeta ne bi rodilo, pomicanje znanosti prema naprijed. Među njima je, naravno, Euklid. Njegova su djela postala temelj i snažan poticaj za razvoj moderne matematike.

Ovaj članak posvećen je petom postulatu Euklida i njegovoj povijesti.

Kako se pojavila geometrija

Budući da su parcele postale predmet prodaje i iznajmljivanja, morala se izmjeriti njihova veličina i površina, uključujući izračun. Osim toga, takvi izračuni postaju neophodni za izgradnju struktura velikih razmjera, kao i za mjerenje volumena raznih predmeta. Sve su to postale pretpostavke za pojavljivanje u Egiptu i Babilonu prije 3-4 milenija umjetnosti zemljovida. Bilo je empirijsko i predstavlja zbirku primjera rješavanja nekoliko stotina specifičnih problema, bez ikakvih dokaza.

Kao sustavna znanost, geometrija se razvila u drevnoj Grčkoj. Do trećeg stoljeća prije Krista nalazila se velika zaliha činjenica i dokaza. Istovremeno je nastao zadatak da generalizira dovoljno velike geometrijske materijale prikupljene. Hipokrat, Fediy i drugi drevni grčki filozofi pokušali su je riješiti. Međutim, logički umjereni znanstveni sustav pojavio se tek oko 300 prije Krista. e. s objavom "Elementi".

Tko je bio Euklid

Drevna Grčka dala je svijetu mnoge od najvećih filozofa i znanstvenika. Jedan od njih je Euklid, koji je postao osnivač Aleksandrijske matematičke škole. Praktički ništa ne zna o samom znanstveniku. Neki izvori navode da su mladi budućnost otac moderne geometrije studirao u poznatom školi Platona u Ateni, a potom se vratio u Aleksandriju, gdje je nastavio studij matematike i optike, kao i skladanja glazbe. U rodnom gradu je osnovao školu, gdje je, zajedno sa studentima i stvorio svoje poznato djelo, što je za više od dvije tisuće godina je osnova za bilo udžbenika na geometrija ravnine i čvrste geometrije.

"Početak" Euklida

Glavni i prvi najsustavniji rad na geometriji čine 13 volumena. Prve četiri i šest knjiga bave se planimetrijom, a 11., 12. i 13. su stereometrija. Što se tiče preostalih svezaka, oni su posvećeni aritmetičkom, koji se daje u smislu geometrijskih postulata.

Uloga Euclidovog glavnog rada u naknadnom razvoju matematičkih znanosti ne može se precijeniti. Došli su nam nekoliko papirusova lista iz izvornih, kao i bizantskih rukopisa.

U srednjem vijeku, "Elementi" Euklida bili su proučavani prvenstveno od strane Arapa, koji su ih smatrali jednim od najvećih djela ljudske misli, a sam znanstvenik stanovnik Damaska. Mnogo kasnije, ova djela zainteresirala su Europljane. S pojavom knjigovodstva, znanost, uključujući geometriju Euklida, prestala je biti vlasništvo samo izabranih. Nakon prvog izdanja 1533. godine, "Elementi" postali su dostupni svima koji su željeli znati svijet, a svake godine postaje sve više i više. Potražnja je potaknula prijedlog, pa se vjeruje da je ovo djelo drugo od najčitanijih drevnih mjesta nakon Biblije.

Neke značajke

„Elementi” opisuje metričkih svojstva trodimenzionalnih, prazan, neograničene i izotropni prostor, koji se obično naziva Euklidove. Smatra se arenom gdje se pojavljuju fenomeni klasične fizike Galilea i Newtona.

Elementarni geometrijski objekt, prema Euclidu, je točka. Drugi važan koncept je beskrajan prostor, kojeg karakteriziraju tri prva postulata. Četvrti se odnosi na ravnopravnost pravokutnika. Što se tiče petog postulata Euklida, on je on koji određuje svojstva i geometriju Euklidskog prostora.

Prema riječima znanstvenika, otac klasične geometrije stvorio je savršeni udžbenik u čijem se istraživanju isključuje nesporazum materijala zbog načina na koji ga prezentira. Konkretno, svaki volumen "Počeci" započinje definicijom pojmova koji se prvi put susreću. Posebice, s prvih stranica prve knjige, čitatelj će naučiti što točka, crta, crta itd. Sve u svemu ima 23 definicija potrebna za razumijevanje glavnih odredbi materijala predstavljenog u ovom temeljnom radu.

Aksiomi i prva četiri postulata Euklida

Nakon definicija, autor "Nahal" citira rečenice koje su prihvaćene bez dokaza. Podijelit će ih u aksiome i postulati. Prva skupina sastoji se od 11 izjava koje su intuitivno poznate osobi. Na primjer, 8. aksiom navodi da je cjelina veća od dijela, a prema prvoj, dvije su količine koje su odvojeno jednake trećem jednaku.

Osim toga, Euklid daje 5 postulata. Prva četiri čitaju:

• iz bilo koje točke na bilo koji drugi može nacrtati ravnu liniju;
• Iz bilo kojeg središta bilo kojeg radijusa moguće je opisati krug;
• ograničena linija može kontinuirano nastaviti uzduž ravne crte;
• svi pravi kutovi su jednaki.

Peti postulat Euklida

Više od dva tisućljeća ova je izjava više puta postala objektom pažnje matematičara. Međutim, prvo se upoznajmo sa sadržajem petog postulata Euklida. Dakle, u modernoj formulaciji to zvuči kao da je u avionu na raskrižju dva ravna jednostranog treće zbroj unutarnjih kutova manja od 180 °, zatim ovih redaka, a nastavlja se prije ili kasnije susresti na toj strani na kojoj se ta količina (količina) manje od 180 °.

Peti postulat Euklida, formulacija koja se u različitim izvorima drukčije daje, od samog je početka izazvala sport i želju da se prevodi u kategoriju teorema izgradnjom dobro utemeljenog dokaza. Usput, često ga zamjenjuje druga izraz, koju je zapravo izumio Proclus i poznat i kao aksiom Playfair-a. On kaže: na ravnini kroz točku koja ne pripada određenoj liniji, moguće je izvući jednu i jedinu ravnu paralelu paralelnu s ovom.

jezik

Kao što je već spomenuto, mnogi su znanstvenici pokušali izraziti ideju o 5. postulatu Euklida na drugačiji način. Mnoge su formulacije sasvim očite. Na primjer:

• približavajuće ravne linije presijecaju;
• postoji barem jedan pravokutnik, tj. 4-gon s četiri desnog kuta;
• svaka se brojka može proporcionalno povećati;
• Postoji trokut koji ima bilo koji prostor bilo koje veličine koji je proizvoljno velik.

mane

Geometrija Euklida postala je najveći matematički rad antike i do 19. stoljeća vladao je vrhom u matematici. Unatoč tome, neke od njegovih nedostataka zabilježile su autori suvremenici i drevni grčki znanstvenici koji su nešto kasnije živjeli. Konkretno, Arhimed je dodao novi aksiom, nazvan njegovim imenom. Ona kaže: za bilo koji segment AB i CD postoji prirodni broj n tako da nmiddot- [AB]> [CD].

Osim toga, znanstvenici su nastojali minimizirati sustav euklidskih postulata i aksioma. Da bi to učinili, donijeli su neke od njih.

Tako je bilo moguće "riješiti se" četvrtog postulata o ravnopravnosti pravokutnika. Za njega je pronađen rigorozni dokaz, čineći ga teorijom.

Povijest 5. postulata u antici iu ranoj srednjem vijeku

Klasična formulacija ove izjave o Euklidovoj geometriji izgleda mnogo manje očita od ostalih četiri. Ta se okolnost nije zamarala matematičarima.

Kamen spoticanja za peti euklidske pretpostavka je definicija paralelizmu dviju linija a i b, navodeći da je zbroj dva jednostranih kutova koje su formirane na raskrižju A i B u treću uzastopnu linija C, što je jednako 180 stupnjeva.

Prvi pokušaj da se to dokazuje kao teorem poduzima drevni grčki geometar Posidonius. Predložio je da se skup svih točaka na ravnini koji su na istoj udaljenosti od originalne ravnine smatra izravnim usporedbom s danom. Međutim, čak ni to nije dozvolilo da Posidonia pronađe dokaze o 5. postulatu.

Pokušaji drugih matematičara, uključujući srednjovjekovne, kao što su arapski Ibn Korra i Hayam, nisu vodili ničemu. Jedino je postignuto nastajanje novih postulata, koje se dokazuju uzimajući u obzir različite pretpostavke.

U 18. i 19. stoljeću

Klasična geometrija nastavila je zanimati i matematičare u 18. stoljeću. Posebice, francuski matematičar A. Legendre uspio je pristupiti vrlo blizu dokazu aksioma euklidske paralelizma. Njegova olovka pripada izvrsnom udžbeniku "Počeci geometrije", koji je za oko 150 godina bio glavni u nastavi matematike u školama Ruskog Carstva. U njemu je znanstvenik davao tri varijante dokaza euklidskoga aksioma paralelizma, ali sve se pokazalo netočnim.

Do početka 19. stoljeća pojavio se ideja stvaranja neeuklidske geometrije. Prvi opis sustava, koji ne ovisi o petom postulatu, dala je vojni inženjer J. Boyay. No, bio je uplašen njegovom otkriću i nije razvio tu ideju, smatrajući da je pogrešan. Veliki njemački matematičar K. Gauss također nije uspio postići uspjeh.

proboj

Za više od 2000 godina, peti postulat Euklida, dokaz kojeg su stotine znanstvenika pokušao pronaći, ostao je broj jedan problem u matematici. Proboj je napravio ruski matematičar NI Lobachevsky. Bio je prvi na svijetu koji opisuje svojstva stvarnog prostora, dokazujući da Euklidova geometrija "radi" samo u konkretnom slučaju njegova sustava.

NI Lobachevsky je u početku slijedio isti put kao i njegovi kolege. Pokušavajući dokazati 5. postulat, nije uspio. Zatim je znanstvenik odbio euklidski pojam, prema kojemu zbroj kutova trokuta jednaka je 180 stupnjeva. Zatim je počeo dokazati ovu tvrdnju od suprotnih i dobio novu formulaciju za peti postulat. Sada je dopustio postojanje nekoliko redaka paralelnih s danom, i prolazio kroz točku izvan ove linije.

Nova geometrija

Nema smisla raspravljati tko je više za matematičku znanost. Uloga Euklida i Lobachevskog usporediv je s utjecajem na formaciju i razvoj fizike Newtonova i Einsteina. U isto vrijeme, novi, apsolutna geometrija je moguće promatrati pojam prostora, odvajanja od klasične metode „može razumjeti samo ono što se može mjeriti.” Ali upravo je taj pristup koji se u znanosti prakticira već mnogo tisućljeća.

Nažalost, ideje suvremene geometrije Lobachevkija nisu shvaćene i shvaćene od strane suvremenika. Naročito, njegovi učenici nisu nastavili rad znanstvenika, a razvoj neeuklidske geometrije odgođen je već nekoliko desetljeća.

Neke značajke teorije Lobachevskog

Da bismo razumjeli novu geometriju, moramo razmotriti kozmičku beskonačnost. Doista, teško je zamisliti da je beskrajan svemir zbroj pravocrtnih prostora.

Lobachevsky geometrija se koristi za opisivanje zakrivljene prostore koje su stvorene od strane gravitacijskim poljima galaksija. Ona je dopušteno odstupiti od metoda pozornost svih likova u „o pravom” cilindar, krug, piramide, ili bilo koje kombinacije tih oblika. Jer, na primjer, u stvarnosti, naš planet - bez lopte, a geoida, tj lik koji se dobiva kontura vanjske konture litosfere (tvrdi oklop) od Zemlje ...

U stvarnom životu postoje i analozi krivudavih prostora Svemira koji omogućuju zamisliti mogućnost postojanja nekoliko izravnih paralelnih koji prolaze kroz jednu točku. Konkretno, to su zakrivljene površine triju tipova, koje se razlikuju po talijanskoj geometriji E. Beltrami i nazvanim pseudosfere.

Daljnji razvoj Lobachevskyove teorije

Izuzetni ruski nije bio jedini koji je sugerirao da geometrija Euklidova nije apsolutna. Konkretno, matematičar B. Riemann 1854. godine unaprijedio je ideju mogućnosti postojanja prostora nulte, pozitivne i negativne zakrivljenosti. To je značilo da je moguće stvoriti beskonačan broj različitih neclasnih geometrija.

S pozicije B. Riemann, koji je proučavao uglavnom prostore s pozitivnom zakrivljenosti, 5. postulat Euklida zvuči vrlo neočekivano. Prema njegovim idejama, niti jedna ravna linija ne može se izvući kroz točku izvan ove linije, koja je paralelna s tim.

Sasvim drugačiji je slučaj s nula prostora, negativne i pozitivne zakrivljenosti Klein teoriji. Konkretno, u prvom slučaju su opisani od strane paraboličnim geometrije, poseban slučaj koji je klasičan, drugi - poštivati ​​Lobachevskian ideje, a treći - u skladu s onima koje su opisane Riemann.

Nakon objave Albert Einsteinove teorije relativnosti, podnošenje takvih prostora nadopuniti podatke koji uzimaju u obzir postojanje četiri međusobno ovisne i mijenjaju mjerenja - težina, snaga, brzina i vrijeme.

U praksi

Ako idete na ljudske percepcije prostora unutar Zemljine orbite za div najvećoj mogućoj trokuta mogućim odstupanjem od zbroja unutarnjih kutova 180 stupnjeva klasične napraviti samo četiri milijuntinkama sekundi. Takva je vrijednost izvan sposobnosti homo sapiensa, pa je za Euklidove potrebna geometrija Euklidova.

Ostaje čekati stvaranje uvjeta koji omogućuju dobivanje eksperimentalnih podataka koji će potvrditi ili opovrgnuti teorije N. Lobachevskog i B. Riemann u mjerilu galaksije.

Sada znate da izjavljuje peti postulat Euklida i njegove povijesti, što je vrlo poučno i omogućuje vam da pratite evoluciju ljudske misli tijekom proteklih 2300 godina.